کتاب بینهایت و ماورای بینهایت

کتاب بینهایت و ماورای بینهایت نوشته‌ی میلاد اسکندردوست، به بررسی نظریه‌ی گئورگ کانتور درباره‌ی اعداد بی‌نهایت در ریاضیات پرداخته و شما را با قلمرو تأمل برانگیز ریاضیات آشنا می‌کند.

بی‌نهایت، جزو دست نیافتنی‌ترین بخش ممنوعه تاریخ تفکر بوده است. گالیله و گاوس و تمام متفکران باستانی از درک نامتناهی بینهایت ناتوان بوده‌اند. انسان‌ها از استنباط نامتناهی ناتوان هستند؛ زیرا ما با ذهن متناهی خود قادر نیستیم مفهوم نامتنهایی را درک نماییم. گئورگ کانتور تنها متفکری بود که توانست به سرزمین حیرت‌انگیز بی‌نهایت سفر کند و مفهوم آن را درک نماید ولی برای این اکتشاف هزینه‌ی بزرگی پرداخت، او در بیمارستان روانی از دنیا رفت! به نظر شما او چه چیزی را مشاهده نمود که دچار روان پریشی شد؟

او به این سؤال فوق بشری پرداخت که نامتناهی چقدر بزرگ است؟ این سؤال جنون‌آمیزی می‌باشد. در پاسخ به این سؤال، کانتور نشان داد که موجودی بزرگتر از بینهایت نیز وجود دارد که باورنکردنی بود. دستاورد او، ریاضیات کلاسیک، عقل بشری و فلسفه را تخریب کرد. و ماهیت واقعی نامتناهی را در سال 1872 به چنگ آورد و کاری کرد که قبل از او هیچ‌کسی انجام نداده بود.

گئورگ کانتور را بیشتر بشناسیم:

گئورگ فردیناند لودویگ فیلیپ کانتور، در 3 مارس سال 1845 در سن پترزبورگ روسیه متولد شد. پدر جورج کانتور، جورج والدمار کانتور، تاجری موفق و مرفهی بود که در سن‌ پترزبورگ مشغول به کار بود. او بعداً به‌ عنوان کارگزار در بورس سنت پترزبورگ فعالیت کرد.

جورج والدمار کانتور در دانمارک متولد شد ولی از کپنهاگ به سن پترزبورگ نقل مکان کرده بود پدر کانتور مردی با عشق عمیق به فرهنگ و هنر بود. پروتستان، دین پدرش بود در واقع پدر کانتور از یهودیانی بود که به آیین پروتستان گرویده بود. مادرش، ماریا کانتور بوم، در خانواده‌ای از نوازنده‌های ویولن در سن پترزبورگ روسیه به دنیا آمد و یک کاتولیک رومی بود.

در بخشی از کتاب بینهایت و ماورای بینهایت می‌خوانیم:

دو مجموعه نامتناهی که در تناظر یک‌به‌یک می‌باشند دارای یک اندازه هستند. مجموعه‌ای را شماش‌پذیر نامتناهی گویند هرگاه هم توان با مجموعه اعداد طبیعی ~N X باشد. مجموعه اعداد طبیعی شمارش‌پذیر نامتناهی است. مجموعه تمام اعداد طبیعی زوج و مجموعه تمام اعدا طبیعی فرد، شمارش‌پذیر نامتناهی هستند. Z مجموعه تمام اعداد صحیح نیز شمارش پذیر نامتناهی است.

جورج کانتور در یکی از اولین مقاله‌های خود درباره نظریه مجموعه‌های نامتناهی، شمارا بودن دو مجموعه نامتناهی مهم را اثبات کرد در حالی‌ که طبق عقل بشر، واجد این خاصیت به نظر می‌رسند. اولین مجموعه نامتناهی، مجموعه نامتناهی تمام اعداد گویا است.

در بخش قبلی نشان داده شد که اعداد صحیح مثبت را می‌توان با یکی از زیر مجموعه‌های آن مانند تمام مجذورها یا تمام اعداد اول یا تمام اعداد فرد در تناظر یک‌به‌یک قرار داد؛ اما بی‌نهایت‌هایی که اعداد صحیح مثبت را به‌ عنوان زیرمجموعه خود در بر می‌گیرند را نیز می‌توان با این مجموعه در تناظر یک به یک قرارداد. بینهایتی که به‌ ظاهر بزرگتر از مجموعه تمام اعداد طبیعی است، مجموعه نامتناهی تمام اعداد گویا است اما کانتور اثبات کرد که عدد اصلی آن برابر اعداد صحیح مثبت است. کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین عدد گویا وجود ندارد. عدد اصلی فرامتناهی دو مجموعه نامتناهی تمام اعداد گویا و تمام اعداد صحیح مثبت باهم برابر است و با هم در تناظر یک‌ به‌ یک قرار دارند. در نتیجه کاردینال ترامتناهی مجموعه نامتناهی اعداد گویا همان الف صفر است! و به این دلیل مجموعه نامتناهی اعداد گویا، یک بینهایت شمارش پذیر می‌باشد. این نتیجه برخلاف شهود است.